浅谈不等式的证明方法.docx

摘要  在整个科学领域中，不等式有着无法取代的作用，它作为重要工具，其应用十分广泛。作为不等式知识体系的重要组成部分，不等式的证明方法随着不等式的出现而出现，也随其发展而得到充足发展。

不等式的证明方法种类繁多，本文着重介绍了初等数学中几种常用方法，如分析法、综合法、数学归纳法、放缩法等，以及高等数学中的几种方法，如函数法、中值定理法、泰勒公式法、积分法。并结合具体的例子详细的介绍了每种方法的定义、解题步骤以及适用范围。如综合法的原理是将“重要不等式”作为题目的隐含条件，用它作为结论去证明原不等式，而分析法则是综合法的逆向思维，是将结论作为已知条件，从而把问题转化为求解原不等式成立的条件，综合法和分析法常常一起使用，用分析法的思维去分析问题，再用综合法的形式将求解过程书写出来；当题目中常出现“全、都、至少、至多、全部”等字眼时，优先采用反证法。它的原理是先否定结论，然后从结论入手向前推理，当出现与题目条件、定理相矛盾时，则说明先前的否定存在问题，即证明原不等式成立。

经过研究这些方法，在了解知识的基础上，更有助于培养我们积极思考、不断创新的能力。

关键词：不等式 函数法 中值定理法

目录

摘要

Abstract

1引言-1

2 初等数学中证明不等式的常见方法-2

2.1 综合法-2

2.2 分析法-3

2.3 反证法-3

2.4 放缩法-4

2.5 换元法-4

2.5.1 三角换元法-5

2.5.2 增量换元法-5

2.6 数学归纳法-6

3 高等数学中不等式证明的常见方法-7

3.1 函数法-7

3.1.1 单调性法-7

3.1.2 奇偶性法-8

3.1.3 极值法-8

3.1.4 凹凸性法-9

3.2 微分中值定理法-10

3.2.1 罗尔中值定理法在-10

3.2.2 拉格朗日中值定理法-11

3.2.3 柯西中值定理法-12

3.3 泰勒公式法-12

3.4 积分法-14

3.4.1 定义法-14

3.4.2 中值定理法-14

3.4.3 变限积分法-15

3.4.4 重积分法-15

3.5 重要不等式法-16

3.5.1 柯西不等式-16

3.5.2 施瓦茨不等式-17

3.6 二次型法-17

4总结-22

参考文献-23

致谢-24