变系数微分方程的解法研究.doc

摘要：二阶线性微分方程在数学和其相关的领域发挥着重要的作用，它在工程技术、科学领域中被广泛的使用。对于二阶线性微分方程的许多应用类型的问题，我们都可以把它们当作二阶线性常微分的问题来求解。现在，一般使用级数解法来求解变系数微分方程，但是这类解法过程以及运算都是比较复杂的，得到的解也都是以无穷级数解或者是近似解的形式给出的，所以说求解这类方程比较困难，不利于科学研究和分析。

目前求解变系数微分方程在微分方程的理论中比较困难，而其求解这类方程的方法不固定也不成规。但是，我们又很清楚常微分方程是比较容易求解出来的，因此我们设想一下，如果我们可以将变系数微分方程转化为常系数微分方程的话，那么求解的困难岂不是小了很多，这就要求我们探寻用什么样的方法才能使得这种转化成立，这些转化需要的条件又是什么。

本文通过对相关书籍的总结探索，利用一般求解法、常系数化法、以及riccati方程化法等方法得到一些新的求解此类方程通解的方法，然后列举出一些例子来证明这些方法是否可行，从而充分扩充变系数微分方程的多种求解方法。

关键词  一般求解法；常系数变换；riccati方程；通解；二阶变系数微分方程

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 微分方程的发展与应用-1

1.2 二阶变系数微分方程求解面临的主要问题-1

1.3 本文研究的内容和意义-1

2 二阶变系数微分方程的一般求解法-3

2.1 二阶变系数微分方程的一般求解法-3

2.2 变系数微分方程一般求解法的应用-4

2.3 变系数微分方程一般求解法的步骤-5

3 二阶变系数微分方程的常系数化法-6

3.1 线性微分方程的自变量变换法化常系数-6

3.2 通过未知函数的齐次线性变换化常系数-7

3.3 通过未知函数和自变量的联合变换化常系数-9

3.4 二阶变系数微分方程常数化方法的一般步骤-10

4 二阶变系数微分方程化riccati方程求解法-11

4.1 相关引理-11

4.2 引理的应用-11

4.2.1 如果方程的系数满足-11

4.2.2 如果方程的系数满足-12

4.2.3 如果方程的系数满足-13

4.3 方法总结-14

结论-16

致谢-17

参考文献-18